大魔王拉格朗日的故事及拉格朗日中值定理
今天，我们就来讲讲
大魔王拉格朗日的故事
考研
其实拉格朗日本来学的是法律，
没想到误打误撞爱上了数学。
但是因为家里是经商的，
他又是长子，
老爹想让他当个律师，继承家业。
然而没想到，
他们家破产了……
拉格朗日回忆表示：
“我家里破产了，
那是我一生中最幸运的事之一。”
云图哥：呵呵
从此再无继承之忧的拉格朗日
走上了大魔王的进阶之路。
17岁时，
他读了英国天文学家哈雷的
介绍牛顿微积分成就的短文，
开始专攻数学分析。
（哈雷，留着一头茂密的白色大波浪）
18岁时，
把自己的论文写信给欧拉，
告诉他刚刚发现的几个数学成果。
欧拉是个相当nice的人，
回信鼓励了他，但是顺便告诉他，
他发现的那几个结果，
早就被莱布尼兹发现了。
（莱布尼茨：跟哈雷同款的黑色大波浪）
大魔王岂是那么容易就被打击说放弃的人？
19岁时，
拉格朗日又寄给了欧拉一篇很长的论文，
以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，
奠定了变分法的理论基础。
拉格朗日
而且欧拉当时也在搞这个课题，
并且做出来的成果比的全很多。
但是欧拉很喜欢这个年轻人，
就刻意把自己的论文压了下来，
拿了他的论文去发表，
再次感叹欧拉真是相当nice啊
……
（欧拉的微笑）
从此大魔王开始崭露头角。
19岁就当上了都灵皇家炮兵学校的教授。
20岁时，受欧拉的举荐，
拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。
普鲁士科学院通讯院士
拉格朗日前后待过
意大利、德国、法国
三个国家的科学院，
在数学、力学和天文学
三个学科领域中都有历史性的贡献，
拿破仑称他为“数学科学高耸的金字塔”，
是18世纪欧洲最伟大的数学家。
18世纪欧洲最伟大的数学家
看了轻松的故事，接下来要烧脑啦
1 拉格朗日中值定理
如果函数(x)满足：
(1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导.
那么存在一点
区间
函数
拉格朗日中值定理是微分学的核心，有三种不同的形式；且有极为重要的应用！
1.1 几何&物理意义
由下图可知，拉格朗日中值定理的几何意义是非常直观的，几乎所有的教材都会介绍. 其 classical证明就是基于几何意义构造辅助函数.
图形描述
其物理意义为： 物体从a沿着曲线f(x)运动到b的平均速度会等于某一时刻ξ的瞬时速度.
1.2 有限增量公式
将拉格朗日中值定理
定理
稍微变下形，则有
公式
继续变形可以得到有限增量公式：
表达
其中
区间
将其与函数可微做一下比较：
精确地相等
你有发现什么了吗？没错，去整容了，尾巴已经给做掉了，而且没有留下疤痕，还是精确地相等
虽然其中还有小手术留下的内创伤(不确定性因素), 但是这已无法隐藏Lagrange定理的锋芒，就像黑夜中的Butterfly一样.
Lagrange定理
就是这一小步，使得Lagrange定理变成微分学的一大步. 利用它可以解决很多之前无法解决的问题.
1.3 两个重要的推论
根据拉格朗日中值定理，很容易得到如下两个推论.
第1个推论
第1个推论经常用来证明一些恒等式，而第2个推论在不定积分理论中起着支柱性作用. 之后我们再来详细讨论.
2 拉格朗日中值定理的其他三种形式
2.1 简化形式（罗尔中值定理）
如果函数(x)满足：
(1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导；
(3) (a)=(b).
则至少存在一点
.
2.2 参数形式（柯西中值定理）
如果函数f(x)与g(x)满足以下条件，
(1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导；
(3) 对任意
公式
.
2.3 加强形式（泰勒中值定理）
罗尔中值定理
.
罗尔中值定理在证明与中值ξ有关的命题时，有着极为重要的作用；而题目中若涉及两个函数时，通常考虑使用柯西中值定理.
泰勒中值定理的威力巨大，但其学习难度也陡增. 选择什么余项（Peano还是Lagrange型余项）？在哪一点泰勒展开？是在一点展开还是在多点展开再复合？这些都有着非常强的技巧.
不过，你一旦掌握了泰勒中值定理，自然会有一种豁然开朗、醍醐灌顶的感觉；当你再回过头去看之前的那些理论，就有“会当凌绝顶，一览纵山小”的意境！
3 拉格朗日中值定理的应用
3.1 求极限
光看不练假把式！！！
3.2 证明恒等式
3.3 证明不等式
3.4 讨论函数性质
在拉格朗日中值定理中
中值定理
a，b 可以相距十万八千里, 或更多的筋斗云，都是允许的，然而却还是在“如来”的掌控之中. 不对，应该是在拉格朗日的掌控之中.
因此拉格朗日中值定理可以用导数的局部性质来研究函数在大范围上(整体)的性质. 比如: 单调性，凹凸性等等.
NICE
于是拉格朗日中值定理为我们今后研究函数的各种性态提供了强大的工具，用起来特方便，反正，谁用谁知道！