中考热点 网格背景下“网红”的勾股定理应用问题

网格问题是初中数学重要题型之一，题目内容分在网格中求线段长或角度大小或图形的面积等题型是近年来数学中考热点之一，可以说是“网红”问题，此类试题旨在用来考查学生观察、分析和计算能力。

网格的类型主要是由正三边形网格和正四边形（即正方形）网格，尤以正方形网格居多。勾股定理及其逆定理爱“上网”，常常能在正方形网格中发现它们的“身影”。

一、网格中有勾股定理

1．如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为√13的线段有（）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条

【分析】√13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，据此画两条以格点为端点且长度为√13的线段．

2．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）

3．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（）

A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2

【解析】根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．

4.（2019秋越城区期末）如图为4×4的网格（每个小正方形的边长均为1），请画两个格点正方形（顶点在小正方形顶点处）要求：其中一个边长是有理数，另一个边长是大于3的无理数，并写出其边长，

∴边长为____．∴边长为________．

【解析】利用勾股定理分别画出边长为无理数和有理数的正方形即可．

如图所示：

5.（2019秋清苑区期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；

（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．

【解答】：本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题。

（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；

（2）三边分别为：√2、2√2、√10（如图2）；

（3）画一个边长为√10的正方形（如图3）．

6.（2019秋碑林区校级月考）已知△ABC的三边长为√5，2√2，√17.

（1）探索方法：在如图所示在网格中画出格点三角形△ABC（三角形三个顶点都在小正方形的顶点处），求出△ABC的面积；

（2）探索创新：用上述类似的方法求△ABC的面积，若△ABC的三边长为

（2）如图2中，构造小长方形的长宽分别为m，n的网格图，满足条件的△ABC如图所示，

S△ABC＝3m×3n﹣1/2×m×2n﹣1/2×3m×n﹣1/2×2m×3n＝9mn﹣mn﹣3/2mn﹣3mn＝7/2mn．

方法点评：网格作图，给了学生多角度探究的空间，而且构图时可以选取网格中的特殊点，这就增加了解题的灵活性和创造性，是以学生的经验为基础，在短时间内完成构图、分析、验证、精准的判断，并根据学生自身能力及特点，可以展现不同水平、不同角度的问题解决的方式，彰显了网格潜在的庞大功能．依托“小网格”，铸就“大舞台”。

二、网格中有勾股定理的逆定理

7．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．以上答案都不对

【解析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．

∵正方形小方格边长为1，

8．如图，A，B，C三点在边长为1的正方形网格的格点上，则∠BAC的度数为（）

A．30° B．45° C．50° D．60°

【解析】利用勾股定理求各边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．

连接BC，

∵AB＝BC，∴∠BAC＝45°，故选：B．

9．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝_______°．

【解析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠DAC＝∠ACD＝45°，最后根据平行线的性质可得结论．连接AD，

由勾股定理得：

∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，

∵AB∥DE，∴∠BAD+∠ADE＝180°，

∴∠BCA+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：45°．

10．在如图所示的方格中，连接格点AB、AC，则∠1+∠2＝_______度．

【解析】根据勾股定理分别求出AD2、DE2、AE2，根据勾股定理的逆定理得到△ADE为等腰直角三角形，得到∠DAE＝45°，结合图形计算，得到答案．

∴△ADE为等腰直角三角形，∴∠DAE＝45°，

∴∠GAD+∠EAF＝90°﹣45°＝45°，故答案为：45．

11．如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝_______．

【解析】根据勾股定理列式求出EB2、EC2、BC2，然后利用勾股定理逆定理和全等三角形的判定与性质解答，可得答案．如图，由勾股定理得，

∵EB＝EC，∴△EBC是等腰直角三角形，

由SAS可证△BME≌△ANC，∴∠α＝∠EBA，

∴∠α+∠β＝∠EBA+∠β＝45°．故答案为：45°．

12．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE的端点均在格点上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为______．

【解析】：连接AD、CD，如图所示：

∵BE＝BC＝5，∴AB＝DE＝AB＝BC，BD2+AD2＝AB2，

∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，

同理：△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，∴∠ADC＝180°，

∴A、D、C三点共线，∴AC＝2AD＝2√5＝BD，

易证△ABC≌△DEB（SSS），∴∠BAC＝∠EDB，

∵∠EDB+∠ADF＝90°，∴∠BAD+∠ADF＝90°，

∴∠BFD＝90°，∴DF⊥AB，

∵AB＝BC，BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，

∵DG⊥BC，∴DF＝DG＝2；故答案为：2．

方法总结

网格背景下研究平面图形，一方面保留了图形自身的几何特性，另一方面，网格自身的位置及数量的特殊性，赋予了图形的一些特殊关系，进而使图形的一般几何性质，得以特殊化，数量化．网格作图，给了学生多角度探究问题的方法，由于构图时可以选用网格中的特殊点，为学生拓展、创新搭建了平台。