2022初三数学复习：五大基本作图 搭建丰富多彩的图形世界
#初中数学学习#
单元要点
本单元需要掌握的基本作图：
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）作一个角等于已知角；
（3）作已知线段的垂直平分线；
（4）作已知角的角平分线；
（5）过一点作已知直线的垂线。
在数学学习过程中，任何知识都不可能孤零零地出现。基本作图也一样，它总是与其他知识一起出现在各类中考题目中，需要我们在练习与迎考的过程中加以注意，多进行全方面的分析，从而找到问题的核心所在，学会对问题进行分析与解决。
阅读说明
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中考真题精选
参考答案
答案解析
一、选择题
1. 答案D。解析因为PA＋PC＝BC＝PB＋PC，所以，PA＝PB，点P在AB的垂直平分线上。
2. 分析：根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
3. 考点N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．分析根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．
4. 答案D.解析试题分析：根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．考点：作图—基本作图.
5. 分析作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．点评本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
6. 分析根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．点评本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
7. 分析利用线段垂直平分线的性质得到FB＝FC，CG＝BG＝2，FG⊥BC，再证明BF＝CF，则CF为斜边AB上的中线，然后根据勾股定理计算出AB，从而得到CF的长．点评本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
8. 分析利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可．点评本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
9. {答案}D。{解析}本题考查了尺规作图，由作图纸OP为∠AOB的角平分线，又OC可能在OP的两侧，由此可判断选D．
10. 分析利用基本作图可对A选项进行判断；计算出∠ABD＝30°＝∠A，则可对B选项进行判断；利用∠CBD＝∠ABC＝30°得到BD＝2CD，则可对D选项进行判断；由于AD＝2CD，则可根据三角形面积公式对C选项进行判断．点评本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
11. 分析连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．点评本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
二、填空题
12. 考点作图—应用与设计作图；勾股定理．分析（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；（Ⅱ）取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
13. 思路分析如图,连接CD、CE，由作法得OE＝OD，CE＝CD，而OC为公共边，所以可根据“SSS”证明△COD≌△COE，所以∠COD＝∠COE，即OC平分∠AOB．∵OC为∠AOB 的角平分线，所以∠AOC＝∠AOB,点评此类问题容易出错的地方是不能识别本题的作图属于作角平分线，导致问题无法解决．
14. 分析利用基本作图得平分，再计算出，所以，利用得到，然后根据三角形面积公式可得到的值．点评本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
15. 分析利用作法得到∠COE＝∠OAB，则OE∥AB，利用平行四边形的性质判断OE为△ABC的中位线，从而得到OE的长．点评本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
16. 分析分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答．点评本题考查的是正方形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
三、解答题
17. 考点作图—基本作图．分析（1）以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．点评本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18. 考点作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．分析（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；（2））找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；（3）找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．
19. 考点N3：作图—复杂作图．分析（1）在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置；（2）根据角平分线的作法即可作出∠AOB的平分线；（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线；
20. 分析（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC．点评本题考查了作图﹣基本作图．也考查了圆周角定理．
21. 分析（1）根据题意作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．点评本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
22. 分析（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．点评本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23. 分析先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．点评本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24. 分析（1）利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E；（2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE．点评本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25.分析： （1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD；（2）先在Rt△ABD中利用∠BAD的正切计算出BD，然后利用BC﹣BD求CD的长．点评： 本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了解直角三角形．
26. 分析：（1）分别以A、B两点为圆心，以大于AB长度为半径画弧，在AB两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可．点评： 本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和及基本作图，解题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
27. 分析： 先作以个角的交平分线，再作线段的垂直平分线得到几何图形，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由AM平分∠DAC得∠DAM=∠CAM，则利用三角形外角性质可得∠CAM=∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质得OA=OC，∠AOF=∠COE，于是可证明△AOF≌△COE，所以OF=OE，然后根据菱形的判定方法易得四边形AECF的形状为菱形．点评： 本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直平分线的性质和菱形的判定方法．
28. 解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）∵在Rt△ABC中，∠B＝37°，∴∠CAB＝53°．又∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝37°．∴∠CAD＝53°－37°＝16°．
29. 答案如图，四边形 ABCD 即为所求。解析过圆心O 做直线 BD，交 O于 B 、 D 两点，做线段 BD 的垂直平分线，交 ⊙O于 A、C 两点，连接 AD、DC、CB、AB ，四边形 ABCD 即为所求的正四边形。考点尺规作图-垂直平分线
30. 分析利用尺规作∠EAC=∠ACB即可，先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明CD∥AB即可．点评本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型．