最伟大的数学发明 人类精神的最高胜利 数学史上最精彩的纷争
数学是自然科学的哲学，也是人类探索未知世界最重要的工具，但是数学历史的发展经历过很多次的危机，也经历过不少质疑，然而这门最被人讨厌的科学，还是稳稳地站在人类知识界的巅峰。
没有任何人可以否定，数学的发展推动着人类社会的进步，没有数学基础的自然科学，一定不可能建立起雄伟耸立的“科学大厦”。
微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微积分创立之前的数学工具，研究对象和解决的问题都是属于静态的，就是所谓积分的方法。精确而瞬时的动态计算必然要涉及到微分的概念。所以，将微分和积分的理论统一起来的微积分学，本质上是一种运动的数学。
作为一门学科，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。而在我国的《庄子·天下篇》中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念，正是微分学的基础思想。
正如恩格斯在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。
但微积分产生的契机直到17世纪才出现。那时，欧洲结束了中世纪的黑暗，进入新时代。航海、造船、天文和建筑等行业的发展都需要新的数学理论支撑。摆在数学家们面前的是无法用过去的知识解决的四类问题：第一类是瞬时速度问题及其逆问题，也就是运动中速度与路程的互求问题。人们在研究中发现计算物体在某时刻的瞬时速度，不能像计算平均速度那样用移动的路程除以运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的路程和所用的时间是0，而0/0是无意义的。
第二类问题是求曲线的切线的问题，它一方面用来解决光学望远镜的设计问题，另一方面用来求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向——即轨迹的切线方向。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题，用于研究行星运动和炮弹发射等问题。
第四类问题是求和问题，用于求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。围绕着解决上述四个核心的科学问题，微积分至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。如法国的费马、笛卡尔、英国的巴罗、德国的开普勒都提出许多很有建树的理论。
然而，微积分的真正发明要归功于两个“天才中的天才”——牛顿和莱布尼兹。他们在前人的基础上走出了最后一步，使微积分的巍峨大厦得以建立。
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于从几何学来考虑的。
牛顿也是伟大的数学家，给我们印象最多的是关于他的生平中突出的贡献是物理学，这里只谈谈他的发明微积分。
大约在1665年，牛顿22岁的时候，已经对微积分有了相当深的认识。这时候他用“0”表示无限小的增量，已经有了极限的含义。他同时还能够求出某个函数的瞬时变化率，它其实也就是导数。例如对于自由落体，下降距离y与时间t之间的函数关系式是y=1/2gt^2下降距离y与时间之间的函数关系式是，它的导数、瞬时变化率与瞬时速度三者是同一的。在这里t是变量。
牛顿就把这种函数中的变量称为流量，而瞬时变化率称为流数，将其整体称为“流数术”。
1669年左右时，他在朋友们中间散发了一本《运用无穷多项的分析学》，这是第一部关于微积分的专著，但这本书直到40余年后才正式出版。此外他还写过一些关于微积分及其应用的文章之类，不过大都直到他死也没有正式出版或者发表，他只是在与朋友们的通信中透露出一鳞半爪，或者纯粹将手稿锁在抽屉里。因此知道的人自然很少。
微积分另一个发明者是菜布尼茨。菜布尼茨被认为是整个西方历史上最博学的人物之一，《不列颠百科全书》以这样简短而强烈的语言表达了他惊人的渊博：莱布尼茨是“德国自然科学家、数学家、哲学家。他广博的才能影响到诸如逻辑学、数学、力学、地质学、法学、历史学、语言学乃至神学等广泛领域”。莱布尼茨大约是在1675年发明他的“无穷小算法”的，这里面包含了极限的基本含义，同时通过在几何上求曲线切线的方法得出了微积分中有关微分的理论。
微积分中的基本概念导数是一种瞬时变化率，它其实也可以通过几何图形去看，那时它就成了曲线上某一点的切线的斜率，二者其实是一体的，只是所说的角度不同罢了。莱布尼茨用dy与dx的比值来表示这个切线的斜率，到现在这个“d”还是微分的运算符号。不但如此，莱布尼茨还看到了与“d”相反的另一种运算，即求"∫"，这就是积分。这些我们在前面都已经说过了。
在1676年左右时，莱布尼茨还给出了微积分的基本定理，即：
在这里这个A就是曲线与其下面的坐标横轴围成的曲面的面积。这个定理现在被称为牛顿一菜布尼茨定理。
从上面看得出来，莱布尼茨已经发明了相当完整的微积分，为数学做出了至关重要的贡献，因为微积分被许多数学家认为是有史以来最伟大的数学发明呢。
不过，这一发明并没有给莱布尼茨在世时带来多少荣誉，相反受其累至多，原因就在于他与牛顿之间爆发了激烈的发明优先权之争。
我们前面刚刚说过，大约在1665年左右时，牛顿已经发明了他的流数术，这其实就是微积分。但他的研究工作只有少数几个朋友知道。发明流数术多年以后，一次牛顿通过莱布尼茨在英国皇家学会的朋友奥尔登堡转给莱布尼茨一封信，在信中他简短且含糊地提到了他的发明。莱布尼茨敏锐地感觉到这就是他此时也已经想到的微积分，于是他在回信中也告诉了牛顿自己的成果。
此后，莱布尼茨的微积分方法在欧洲的数学家们中间开始流传，并由于其实用性引起了极大的反响。到1684年，莱布尼茨在一篇名叫《求不局限于分数或无理数量的极大、极小和切线的新方法以及它们异常的计算类型》的论文中正式公布了他的发明。
过了三年，牛顿在他的巨著《论自然哲学的数学原理》的注释中提到了与莱布尼茨通信的事。于是争论立即爆发了。
由于是不同国家的人，两人之间的争论便成了国家与民族的荣誉之争。结果莱布尼茨失败了，至少在他有生之年如此。因为除了他的同胞，没有人承认他是微积分的发明者，瑞士数学学会甚至公开指称莱布尼茨是窃者。这令他一生蒙羞。当然，现在数学史家们已经得出了结论：微积分是菜布尼茨与牛顿共同发明的，牛顿发明较早，但菜布尼茨公布较早。
1716年，晚景凄凉之极的菜布尼茨在胆结石和痛风及其引起的腹绞痛的折磨之下离开了人世，终年70岁。他的葬礼同样凄凉，据说寥寥几名送葬者中的一个不由喟然长叹：他其实是这个国家的荣耀，但今天却像个强盗般入土！令人感到不胜惊讶的是，莱布尼茨虽然有数不清的工作要做，却还能进行广泛目深入的科学与哲学研究，并且在许多方面都取得了杰出的成就，其中最重要的哲学成就是提出了单子论，科学成就则是发明了微积分。
应该明白，这是和历史上任何一项重大理论的完成，也要经历一段时间一样，牛顿和菜布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在什么是无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的“刹那”（“瞬”）或无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的dx，dy也是不能自圆其说的。这些基础方面的缺陷，使得牛顿被神学家贝克莱（1685-1753）猛烈攻击，莱布尼茨被尼文太（1654-1718）竭力反对。
蔡志忠漫画《人生是时间的微积分》——少林寺石碑
微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。城市的繁荣，交通工具的不断进步，航空航天领域的飞速发展给人类社会带来了日新月异的变化，而这一切都离不开微积分的诞生。