数学归纳法的教学设计三篇

数学归纳法的教学设计三篇

篇一：数学归纳法教学设计

一、教材内容解析

由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论.这是数学归纳法产生的根源.

数学归纳法是一种证明与正整数n有关的命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。

设p(n)表示与正整数n有关的命题，证明主要有两个步骤：（1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；有了这两步的保证,就可实现以下的无穷动态的递推过程：

P(1)真?? P(2)真?? P(3)真??… ?? P(k)真?? P(k+1)真?? …

因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真.

数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，即验证由任意一个整数n过渡到下一个整数n+1时命题是否成立.这两个步骤都非常重要，缺一不可.第一步确定了n=1时命题成立，n=1成为后面递推的出发点，没有它递推成了无源之水；第二步确认了一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从1开始，向后面一个数一个数的无限传递到1以后的每一个正整数，从而完成证明.因些递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上.

在应用数学归纳法时，第一步中的起点1可以恰当偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可证明命题对n=n0以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也可作灵活的变动，如跳跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递推时的基础.

数学归纳法名为归纳法，实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法“这个名字是随便起的”.[1]归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中”(庞加莱)，它得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性.

数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充[1]，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”.

二、教学目标

1. 通过对具体问题的解决思路探寻，了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，在此基础上归纳概括出数学归纳法证题的两个步骤.

2. 体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简单的恒等式.

3. 了解通过“观察”“归纳”“证明”来发现定理的基本思路.

三、教学问题诊断

认知基础：

（1） 对正整数的特点的感性认识；

（2） 对“无穷”的概念有一定的认识和兴趣；

（3） 在数列的学习中对递推思想有一定的体会；

（4） 在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实；

（5） 在“算法”循环结构的学习中有反复试用“循环体”的体会,虽然算法实现的

只能是有限步的循环;(如下图)

（6） 了解归纳法、演绎法等推理方法以及分析法、综合法等证明方法，具有了一定的逻辑知识的基础.

难点或疑点：

但数学归纳法作为一种证明的方法，且不论其方法的结构形式，运用技巧，就是对其自身的可靠性，学生都有一定的疑虑，具体可能会体现在以下一些方面：

1.数学归纳法所要解决的是无穷多个命题P(1),P(2),P(3),…,P(n),…恒为真的问题，由此造学生在理解上的两点困难：（1）对“无穷”的模糊认知和神秘感；（2）对于一个关于正整数n的命题P(n)，会难以将其看作是一个随自变量n变化的“命题值函数”.

2.为什么要引进数学归纳法？验证为何不可行？

3.数学归纳法的两步骤中，对第二步的认识往往难以到位.将解决由P(k)到P(k+1)的传递性问题，误解为证明P(k+1)的真实性.由此造成对证明中何以用“假设”的不理解.

4.数学归纳法的第二步中由k到k+1的递推性应保证k从第一个值时的任意一个整数都能成立,由此只要第一个值成立，就能确保可以一直递推下去.

5.数学归纳法中的递推是一种无穷尽的动态过程，学生对于不断反复地运用步骤二来进行推理的模式缺乏清晰的认知.

数学归纳法运用时对起点可作适当的偏移，对第二步的证明有一定的技巧，这些都可以留置下一课进行深入分析，本课侧重解决对数学归纳法基本原理和两步骤的初步理解.

突破的关键：

由于中学阶段对数学归纳法的教学缺乏理论基础，因此学习的关键是通过对具体问题的解决，提炼出方法的一般模式。在经历问题的提出、思考的过程，通过具体的事例、直观的模型中加以抽象概括，从而逐步加深对数学归纳法原理的理解。

(1) 借助递推数列

递推数列通过相邻两项的关系以及首项来确定数列，与数学归纳法的思想有着天然的联系.

(2) 构建直观模型

上图既有多米诺骨牌的形象又有数学的形式，加上命题式的推出符号更易理解若k则k+1的递推语句，整体上又具有流程图的程序结构，能较好地反映出数学归纳法的本质，可以使学生的思考有较形象直观的载体.

（2）重视归纳概括

根据递推思想，数学归纳法的证题过程可分解为以下无穷多个步骤：

第一步，P(1)真；

第二步，P(1)真??P(2)真；

第三步，P(2)真??P(3)真；

第四步，P(3)真??P(4)真；

…

用最少的步骤可概括为

第一步，P（1）真；

第二步以后各步都可归纳为一个命题的证明：P(k)真?P(k+1)真；即若P（k）真，则P（k+1）真.

同以上两步，就可证得对任意的正整数n,都有P(n)为真.

对于这种抽象概括，学生在数列的学习以及算法的学习中是有经验的和能力的.

四、教学支持条件

对于“无穷”与“递推”的描述，仅靠语言及符号是苍白的，借助于一些直观形象的符号可以更有助于学生的想象与理解.

五、教学过程设计

（一）课前准备

课前播放多米诺骨牌游戏的录像，并将其类比迁移到对提问规则的制定:某个同学回答后，将话话筒传递给下一位同学回答问题.

设计意图：一方面营造轻松的氛围，另一方面渗透递推思想，让学生有感悟思想的机会

（二） 方法的形成

问题：已知数列｛an｝：师生活动：

学生进行计算推理后，展示思考结果. ，求,.

教师追问：

（1）根据递推公式出,说说你又是如何求得呢？

可以由出发，推出，再由推出,由推 预设：由前四项归纳猜想.

（2）归纳猜想的结果并不可靠，你能否对

设计意图：学生通过对给以严格的证明吗？ 的求解，体会到只需知道某一项，就可求出其下一项的值.通过直观的框图式结构，可以使学生的思考有较形象直观的载体.针对学生的回答情况，教师可进行追问：

问1 : 利用递推公式，命题中的n由1可以推出2，由2可以推出3，由3可以推出4，。。。，由99可以推出100. 这样要严格证明n=100结论成立，需要进行多少个步骤的论证呢？ 第一步，； 第二步：； （由推） 第三步，； （由推） 第四步，

…… ； （由推）

第99步，；（由推）

第100步，

问2： 你能否只用最少的步骤就能证明这个结论呢？ . （由推）

预设：除了第一步论证之外，其余99个步骤的证明都可以概括成一个命题的证明，即

转化为对以下命题的证明：

若n取某一个值时结论成立，则n取其下一个值时结论也成立，即 若（），则. （*） （.）

问3： 你能进一步说明命题（*）的证明对原命题的证明起到什么作用吗？

问4： 有了命题（*）的证明，你能肯定吗？你能肯定吗？你能肯定 吗？甚至你能肯定吗？…

问5：给定及命题（*），你能推出什么结论呢？

预设：通过步步递推，可以证明对任意的正整数n，结论都成立

问6：试写出此命题的证明:

已知数列｛an｝：预设：证明: ，求证：.

(1) 当n=1时，,所以结论成立.

(2) 假设当n=k(k?N*)时，结论成立，即

则当n=k+1时 ，

篇二：2.3数学归纳法 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。

（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。

（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。

2.教学重点/难点

：

借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。

：

如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。

3.教学用具多媒体

4.标签

2.3 数学归纳法(1)

教学过程

课堂小结

适用：与正整数有关的命题 重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉

篇三：数学归纳法(第一课时)教学设计

一、教学目标：

（一）知识目标：

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

（二）情感目标：

进一步培养严谨的科学思维品质，让学生初步认识有限与无限的辩证关系，感悟数学的理性精神，欣赏数学的美与理．

（三）能力目标：

培养“大胆猜想，小心求证”的科学思维品质，培养发现问题与提出问题的数学意识，培养数学学习中的合作交流的能力，使学生初步掌握由归纳到猜想再到证明的数学思想方法．

二、教学重点

掌握数学归纳法证明题目的步骤，掌握数学归纳法的一些应用．

三、教学难点

应用数学归纳法第二个步骤中从k 到k+1的变化情况分析．

四、教学过程

（一）引入课题

将课前准备好的多米诺骨牌摆好并进行演示，观察其中出现的“多米诺现象”：推倒头一块骨牌，它会带倒第二块，再带倒第三块，??，直到所有骨牌全部倒下．

假设多米诺骨牌有无穷多块，在摆多米诺骨牌时，怎样才能保证所有的骨牌一块接一块地倒下？

学生：首先必须推倒第一块，接着是假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块．这两个条件满足了，全部的骨牌都将倒下．

教师：生活中还有许多现象与“多米诺现象”类似，也都可以提出同样的问题并作出相同的回答，例如：在燃放鞭炮时怎样才能保证所有的`鞭炮逐个地全部燃爆？在一列队伍中传达口令，怎样才能保证口令能从第一个士兵开始逐个传遍整个队伍？

（二）传授新知：

教师：现在我们把骨牌想象为一系列无穷多个编了号的命题：P1,P2,P3,?,假定我们能够证明最初的一个命题P1正确（奠基）；由每一个命题Pk的正确性都可以推出它的下一个命题Pk?1的正确性（过渡）．那么我们便证明了这一系列命题的正确性．请将这个过程与多米诺现象进行类比．

在数学中这种证明问题的方法称为数学归纳法．在数学中采用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，有以下两个步骤：

第一步，证明n?1时命题成立；

第二步，证明：如果n?k时命题成立，那么n?k?1时命题也成立．

根据以上两步可以断定，命题对任何正整数n都成立．

１．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么an?a1?(n?1)d对

一切n?N?都成立．

（1）当n?1时，左边＝a1，右边＝a1?0?d?a1，等式成立；

（2）假设当n?k时，等式成立，即ak?a1?(k?1)d，

那么ak?1?ak?d?[a1?(k?1)d]?d?a1?[(k?1)?1]d．

这表明，当n?k?1时，等式也成立．

根据（1）、（2）可以断定，等式对任何正整数都成立．

n?1时等式成立；n?1?1?2教师：在例1解题过程中，根据（1），再根据（2），

?1?3时等式也成立．这时等式也成立．由于n?2时等成立．再根据（2），n?2

样递推下去，就知道n?4,5,6,?时等式都成立，即等式对任何n?N?都成立．请

归纳出以上的证明步骤．

学生：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：

（1）证明当n取第一个值n0（例如n0?1或2等）时结论正确；

（2）假设当n?k（k?N?,且k?n0)时结论正确，证明当n?k?1时结论也正确．

在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．

正确使用数学归纳法证明一个数学问题，关键是在第二个步骤，只有应用了假设条件去推理，证明过程才是有效的，没有应用假设条件的证明过程并不是在使用数学归纳法．

教师：数学归纳法的思想可以远推至欧几里得﹝前330-前275﹞．严格的数学归纳法是在16世纪后期才引入的．1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯﹝1494-1575﹞在他的《算术》一书中明确提出了这一方法，并且用它证明了“1?3?5???(2n?1)?n2”等；法国著名数学家帕斯卡﹝1623-1662﹞承认莫洛克斯引用了这方法，并在他的著作《三角阵算术》中运用了这一方法．因此，一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人．由于帕斯卡还没有表示任意自然数的符号，因此组合公式及证明只能用叙述的方法，1686年J?伯努利首先采用了表示任意自然数的符号，在他的名著《猜度术》﹝1713﹞中包含运用数学归纳法证题的出色例子．“数学归纳法”这个名称及数学归纳法的证题形式是德?摩根﹝1806-1871﹞所提出的．皮亚诺﹝1858-1932﹞的自然数公理中包含了归纳原理．

（三）讲解例题：

１.用数学归纳法证明：1?2?3???n?1

2n(n?1)．

（1）当n?1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；

（2）假设当n?k时，等式成立，即1?2?3???k?

那么1?2?3???k?(k?1)?

?1

2(k?1)(k?2)?112k(k?1)?(k?1) 12k(k?1)， 2

这表明，当n?k?1时，等式也成立． (k?1)[(k?1)?1]．

根据（1）、（2）可以断定，等式对任何正整数都成立．

２．求证对于任何非负整数n，都有2n?n?1．

（1） 当n?0时，20?1?0?1，不等式成立．

（2）设当n?k时，2k?k?1．

则n?k?1时，2k?1?2?2k?2(k?1)?(k?1)?1．

n综上所述，对于任何非负整数n，都有2?n?1． ３．证明，其中n∈N*．

用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n=k+1时，等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系，或增加了哪些项，或减少了哪些项，问题就容易解决．

（1）当n=1时，左边=1+1=2，右边?21?1?2，等式成立．

（2）假设当n=k时，等式成立，

即

当n=k+1时， ．则

即当n=k+1时，等式也成立．

由（1）、（2）可知，对一切n∈N*，等式成立．

教师：数学归纳法只能在有了问题结论时才能使用，获取问题的结论需借助合情推理，所以，“观察—分析—归纳—猜想—证明”才是从发现问题至解决问题的完整过程．如果问题与自然数有关，一般可运用数学归纳法去证明．

教师：根据数学归纳法的定义，利用数学归纳法证题时，上述两步骤缺一不可．如果只有第一步没有第二步的证明，则它是属于不完全归纳法，作出的结论就不一定真实可靠，而有了第二步的证明，在数学归纳原理的保证下，才使得结论是完全可靠的．但要注意，仅有第二步而无第一步的证明，结论也是不一定真实的．同时要注意，数学归纳法有别于上面提到的完全归纳法和不完全归纳法，它是根据归纳原理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明方法．

利用数学归纳法来证明某些与自然数n有关的数学命题，核心问题是用“n?k时命题成立”的假设条件证明“n?k?1时命题成立”，证明时要通过比较找出二者之间的差异，才能实现中间的过渡．数学归纳法证较多地使用在关于恒等式、不等式、数列、几何以及整除类等问题中．