数学《函数》教学设计
数学《函数》教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
变量与常量的概念.
2.内容解析
本课是函数的起始课,函数是刻画运动变化现象的重要数学模型,要从数学的角度研究变化现象,把握变化规律,首先要关注变化过程中量的变化,这就是变量.有了变量的概念,便为研究成函数关系的两变量的“运动与对应”关系打下基础.
本课从四个简单的实际问题入手,通过分析问题中数值的变与不变,引出变量与常量的概念,而且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义作了铺垫.
基于以上分析,确定本节课的教学重点是:能找出一个变化过程中的变量与常量.
二、目标和目标解析
1.教学目标
(1)了解常量、变量的意义;
(2)充分体会运动变化过程中量的变化.
2.目标解析
(1)知道在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量;
(2)体会在一个变化过程中,一个量随着另一个量的变化而变化,初步体会两个变量之间的单值对应关系.
三、教学问题诊断分析
变量是学生第一次接触,对一个运动变化过程中的两个变量的关系,学生往往只认为是一种确定的数量关系,类似于二元一次方程,没有用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化.
基于以上分析,确定本节课的教学难点为:体会运动变化过程中量的变化.
四、教学过程设计
1.创设情境,观察思考
引言
我们生活在一个变化的世界,行星在宇宙中的位置随时间而变化,气温随海拔而变化,树高随树龄而变化?所谓“万物皆变”.唯一不变的就是变化本身.我们发现,在各种各样的变化过程中往往蕴含着量的变化,研究这些量之间的依赖关系是我们把握变化规律的关键.
通过引言教学,提出本节课需要研究的问题,合理地引起学生注意.
2.合作探究,形成概念
问题1 有如下几个变化过程,请找出各变化过程中的量,并分类:
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶. 行驶路程为s km/h,行驶时间为t h. 填写下表,s的值随t的值的变化而变化吗?
(2)电影票的售价为10元/张. 第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各多少元?
(3)用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长分别为3m,3.5m,4m,4.5m时,它的邻边分别为多少?
(4)美丽的水中涟漪图中,圆形水波纹慢慢地扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?
师生活动1 教师与学生一起通过计算填表,并分析问题(1)中出现的三个量,发现其中有些量的数值是变化的,如时间t,路程s;有些量的数值是始终不变的,如速度60km/h.
在常见的“行程问题”中,引导学生从“变与不变”的角度观察速度、时间、路程三个量,可以较为自然地引导学生对三个量进行分类.
师生活动2 学生继续分析问题(2)(3)(4)中的量并分类,领会“变量”、“常量”的含义.发现在同一个变化过程中,始终保持不变的量为常量,而数值发生变化的量为变量.
有前述的示范引导,让学生自主探究“销售问题”、“几何问题”中的常量与变量,通过探索简单实例中的的数量关系和变化规律,深刻体会变量与常量的含义. 问题2 在上述问题1的四个变化过程中,请思考:
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶. 行驶路程为s km/h,行驶时间为t h. s的值随t的值的变化而变化吗?
(2)电影票的售价为10元/张. 设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗?
(3)美丽的水中涟漪图中,圆形水波纹慢慢地扩大.在这一过程中,设圆的半径为r,圆的面积S,S的值随r的值的变化而变化吗?
(4)用10m长的绳子围一个矩形.设矩形的一边长为x,邻边长为y,y的值随x的值的变化而变化吗?
师生活动 学生思考并回答.
从实际问题中抽象出变量,进一步体会常量与变量之间、变量与变量之间的关系,初步体会同一个变化过程中两个变量之间的依赖关系和对应关系.
3.初步辨析,强化认识
问题3 指出下列问题中的变量和常量:
(1)某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况,记某户月用水量为x t,月应交水费为y元.
(2)某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元,记此后他的手机通话时间为t min,话费卡中的余额为w元.
师生活动 学生通过独立思考和合作交流,解决问题.
教师引导学生在2个常见的简单的实际问题中,通过合理、正确的思维,指出同一问题中的变量和常量.第(3)题仍然沿用圆形水波的问题背景,但讨论的角度由圆的面积变为圆的周长,常量为圆周率π,变量为圆的半径r和周长C.
问题4 请根据下列背景构造变化过程中的常量和变量:
(1)水中涟漪(圆形水波)不断扩大.
(2)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放).
师生活动 学生分组讨论,通过合作交流,探索结论.
本题是在学生认识了变化过程中的常量和变量后,只给出问题背景,让学生通过思考,在已有知识基础上构造变量,进一步认识常量与变量.
第(1)题可以记圆的半径为r,圆周长为C,圆周率(圆周长与直径之比)为π. 第(2)题可以第一个抽屉放入x本,第二个抽屉放入y本.
4.简单应用,巩固概念
例1 指出下列变化过程中的常量和变量:
(1)购买一些单价为0.5元/支的铅笔,总价y随购买支数x的变化而变化.
(2)已知三角形底边长为8cm,高h可任意伸缩,面积S随高h的变化而变化. 师生活动1 学生独立完成.
追问 你能根据已经学过的知识,给出同一问题中两个变量之间的数量关系吗?
在数学问题中识别常量和变量,并分别用倍数关系和三角形面积公式找出两个变量之间的数量关系,为后续函数关系作铺垫.
5.小结
回顾本节课内容,引导学生总结新知:
(1)什么叫变量?什么叫常量?
(2)你认为同一变化过程中的变量之间有联系吗?
6.布置作业:举一组运动变化的例子并指出其变量和常量.
五、目标检测设计
1.半径是r的圆的周长为C=2πr,下列说法正确的是( )
A.C,r是变量,2π 是常量 B.C是变量,2,r是常量
C. C,r是变量,2,π是常量D.C,π是变量,2是常量
考查常量与变量的意义.圆的周长C是随着圆的半径r的变化而变化的.
2.给定了火车的速度120km/h,要研究火车运行的路程与时间的关系.在这个问题中,常量是变量是;若给定路程为500km,要研究速度与之间的关系.在这个问题中,常量是______,变量是________.
考查常量与变量的含义.在同一变化过程中,常量与变量的.关系是相对的.
3.分别指出下列各关系式中的常量与变量:
(1)如果等腰三角形的顶角的度数为α,那么底角的度数β与α之间的关系式为
.
(2)如果某种报纸的单价为a元/份,x表示购买这种报纸的份数,那么购买报纸的总 价y(元)与份数x之间的关系式是y=ax.
考查常量与变量的含义.第(1)题中常量是180°,变量是α,β.第(2)题中常量是a,变量是x,y.
《函数》同步测试
湖北省赤壁市教研室 来小静
一、精心选一选(每小题只有一个正确选项,请把正确选项的字母代号填在题后的括号内)
1. 某人要在规定时间内加工100个零件,对剩余零件个数p与工作时间t之间的关系,下列说法正确的是( )
A.数量100、p、t都是变量 B.数量100和p都是常量
C.p、t都是常量 D.100、t都是常量
考查目的:考查常量和变量的概念.
答案:C.
解析:在同一变化过程中,始终保持不变的是常量,数量变化的是变量.故答案应选择C.
2. 一根蜡烛原长是a(cm),点燃后燃烧的时间为t(min),剩余蜡烛的长为y(cm)下列说法正确的是( )
A.常量是a,变量是y、tB.常量是t,变量是a、y
C.常量是y,变量是a、tD.以上说法都不对
考查目的:考查常量与变量的概念.
答案:A.
解析:蜡烛原长是固定的,所以a是常量,点燃后,燃烧时间越长,剩余蜡烛越短, y随
着t的变化而变化,所以t,y是变量.故答案应选择A.
3.以固定的速度
间的关系式是(米/秒)向上抛一个小球,小球的高度(米)与小球的运动的时间(秒)之,在这个关系式中,常量、变量分别为( )
是常量,、是变量
、、是变量 A.4.9是常量,、是变量 B.C.、是常量,、是变量 D.4.9是常量,考查目的:考查常量和变量的概念.
答案:C. 解析:在关系式中,速度和数量是常量,小球的高度(米)随小球的运动时间(秒)的变化而变化,是变量. 故答案应选择C.
二、细心填一填(把正确答案直接填在题中横线上)
4. 齿轮每分钟120转,如果表示转数,表示转动时间,那么用表示的关系是,其中 为变量, 为常量.
考查目的:考查常量与变量的概念. 答案:;;. 是常量;转数随着时间的变化解析:齿轮的转速为
而变化,所以转/分,是固定不变的,所以是变量.
5. 表格列出了一项实验的统计数据,表示小球从高度(单位m)落下时弹跳高度(单位m)与下落高的关系,据表可以写出的一个关系式是.
考查目的:考查变量间的关系.在具体问题中,用代数是表示变量间的关系. 答案:.
的取值是相应的下落高度的值的一半,故关系解析:根据表格数据分析,小球弹跳高度式为.
6.
表中有个变量,其中 随 的变化而变化,变化趋势是 .
考查目的:考查常量与变量的概念.
答案:2;人口数;时间;随着时间的增大,人口数也在增大.
解析:从表中可以看到,人口数随时间(年份)的变化而变化.变量有两个.随着时间的推移,人口数也越来越大.
三、专心解一解(解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
7
(1)上面的表格反映了哪两个变量之间的关系? (2)请估计销售量是15千克时,销售额是多少元?
考查目的:考查实际背景下常量与变量的概念.
答案:(1)表格反映了销售数量x
(千克)与销售额y(元)之间的关系;(2)估计销售15千克时,销售额是31.5元.
解析:表格第一行是销售量,第二行是对应的销售额,用常量和变量的概念可以判断.根据表中提供的数据,不难发现,销量与销售额的数量关系为
可得.
的顶点在直线m上,顶点、在直线n上,,将代入式中,8.已知直线m、n之间的距离是4,
指出其中的变量和常量,并求的面积s与的边长x之间的关系式.
考查目的:考查常量与变量的概念及变量间的关系.
答案:常量是4,变量是x、s.面积s与的边长x之间的关系式为.
解析: 本题以三角形面积为问题背景,考查常量与变量之间的关系.此问题中,三角形的高是定值,当底边的长变化时,面积s相应变化.根据三角形面积公式得到
.